Metody numeryczne – całkowanie – Java

Cześć. Dziś nieco bardziej matematycznie.
Szybka powtórka: Całka to pole powierzchni pod wykresem funkcji.


Całka oznaczona na przedziale

Wartość całki jest t więc pole powierzchni tej zielonej figury.

Słowem wstepu.. Mamy 4 popularne metody numeryczne które pozwalają obliczyć wartość całki:

  • Metoda prostokątów – pole powierzchni przybliżane jest poprzez podzielenie obszaru na prostokąty.
  • Metoda trapezów – pole powierzchni przybliżane jest poprzez podzielenie obszaru na trapezy.
  • Metoda Monte Carlo – zliczamy punkty które wpadają w wykres funkcji.
  • Metoda Simpsona – będziemy obliczali sumy wycinków obszarów pod parabolą.

 

Dziś zajmiemy się metodą która jest najlepsza biorąc pod uwagę skomplikowanie i dokładność – czyli metodę trapezów. Dokładniejsza od niej jest metoda Simpsona, ale jest nieco bardziej skomplikowana.

Ok, skoro wiemy że będziemy sumować sumy pól powierzchni trapezów to warto przypomnieć wzór na pole trapezu:
.

Dzielimy teraz pole powierzchni na n trapezów. Wysokość każdego z trapezów będzie taka sama i będzie równa

Teraz musimy wyznaczyć punkty, czyli przedział dzieli na n równych partii wzorem:

No i teraz wystarczy zsumować pola, które, wg wzoru pierwszego to:

Więc mamy taką sumę:

No to wyciągamy przed nawias i dostajemy:

I po przekształceniach dostajemy wzór na całkę:

No i dostaliśmy finalną wersję wzoru iteracyjnego na obliczenie wartości całki w metodzie trapezów.
Teraz przystąpny do implementacji. Funkcję którą bedziemy całkować stworzyłem jako metodę klasy abstrakcyjnej. Klasa która liczy całkę rozszerza klase z funkcją co daje nieco wygody.. Ok, pierw wywołanie:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
abstract class funkcja{

public double f(double x){

return (x*x);

}

}
public class Calka {

/**
* @param args the command line arguments
*/

public static void main(String[] args) {

Integral i = new Integral(100000, 0, 5);
System.out.println(i.Calc());

}
}

Jak widzimy w kodzie, funkcja którą bedziemy całkować to funkcja kwadratowa. W konstruktorze pierw podziejmy dokładność operacji (im większe tym wolniej i dokładniej) no i odpowiednio – a i b – przedziały całkowania. Tutaj obliczamy całkę taką:

Ok, czas na klasę Integral:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
public class Integral extends funkcja{

double dokladnosc;
double xp;
double xk;
double dx;

public Integral(double n, double xp, double xk) {

this.xk=xk;
this.xp=xp;

this.dokladnosc=n;

dx=(xk-xp)/n;
}

public double Calc(){

double wynik=0;
for(double i=1;i<dokladnosc-1;i++)
{

wynik=wynik+f(xp+i*dx);

}
wynik=(wynik+((f(xp)-f(xk)/2)))*dx;

return wynik;
}

}

Sprawdźmy teraz jak dobrze klasa liczy.
wSedVAe
 

Myślę że dokładność jest wystarczająco dobra przy dokładnosci podaje w konstruktorze równej 100000. Jeśli jest potrzeba – można zwiększyc.

calka_69 Młoda, uśmiechnięta Kobieta. Jak myślicie, co chce nam przekazać na tej białej planszy? :P

Rozwiązanie całki masz w pliku *.jar. Uruchom i zobacz co tej Pani chodzi po głowie ;)

PS. Żeby uruchomić plik *.jar musisz przejść w cmd do folderu z plikiem i wpisać java -jar Calka.jar :)

Dzięki za wizytę,
Mateusz Mazurek
Podziel się na:
    Facebook email PDF Wykop Twitter

Dodaj komentarz

avatar

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

  Subskrybuj  
Powiadom o